52a は自然数 \(n\)（集合 \(\{0, \dots, n-1\}\)）の部分集合を数えた。ここでは \(n\) と対等な任意の集合 \(X\) に広げる。

1 対等な集合のべき集合

word(ss,s) … *^ap
*^ap. … \(R ( A ) = \{ y \mid \exists x \in A . \langle x , y \rangle \in R \}\)
\(f[A]\) は \(A\) の \(f\) による像。像が集合であることは *^ap. の定義が仮定として含む（置換公理に当たる）。
全単射 \(f : X \to Y\) は \(A \mapsto f[A]\) で \(\wp X\) から \(\wp Y\) への全単射を与える。
℘=# … \(X \stackrel{\#}= Y \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= \wp Y\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s

2 主定理

よって \(n\) 個の元をもつ集合の部分集合は \(2^n\) 個（52a の主定理と ℘=#）。
\(n \in \mathbb{M} , X \stackrel{\#}= n \Longrightarrow \wp X \stackrel{\#}= 2 ^ n\) \(\blacktriangleleft\) \(\mathbb{W}.\) ，ax_s ，+𝕄 ，*𝕄 ，↑𝕄